Chapitre 2 Résumé de probabilité
2.1 Rappel des différentes lois de probabilités
Les lois de probabilités sont des objets mathématiques qui permettent
aux statisticiens de fabriquer des modéles pour décrire des phénomènes
où le hasard intervient.
Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences.
Soit Ω un ensemble muni d’une probabilité P. Une variable
aléatoire X est une application définie sur Ω dans ℝ.
X permet de transporter la loi P en la loi P’ définie sur
Ω′=X(Ω) : on a P′(xj)=P(X−1(xj))=P(X=xj).
La loi P′ est appelée loi de X.
2.2 Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire discréte X est une application dont la valeur est
la valeur du caractère étudié, c’est à dire le résultat d’une
épreuve.
Si X prend n valeurs x1,...x−n, on définit :
-
m la moyenne ou, E(X) l’espérance de X par :
m=E(X)=∑i=1n xiP(X=xi)
- µ2 le moment d’ordre 2 par :
µ2=E(X2)=∑i=1n xi2P(X=xi))
- var(X) la variance de X par :
var(X)=∑i=1n (xi−m)2P(X=xi)=E(X2)−E(X)2
- σ l’écart type par :
σ=√var(X)
Les n valeurs observées du caractère forment un échantillon de X
d’ordre n : on dira que ces n valeurs sont les valeurs de n variables
aléatoires X1,X2,...,Xn qui suivent la même loi que X.
Par exemple, lorsqu’on lance un dé, on peut définir la variable aléatoire
X qui est égale à la valeur de la face visible, donc X vaut 1 ou 2
ou ... 6.
Il y a trop de paramètres en jeu pour pouvoir déterminer le résultat
du lancer d’un dé, mais à chaque lancer la valeur de X est définie.
Attention
Ce n’est pas parce que deux variables aléatoires suivent la
même loi qu’elles sont égales. Par exemple, je lance deux dés, un rouge
et un vert : la variable X1 égale à la face visible du dé rouge et la
variable X2 égale à la face visible du dé vert suivent toutes les deux
une loi équirépartie de probabilité p=1/6 sur
{1,2,3,4,5,6}.
La loi équirépartie
La variable aléatoire X suit une loi équirépartie si :
-
X a pour valeurs x0,x1,xk−1 et si P(X=xj)=1/k pour tout
j=0 .. (k−1).
On a :
µ=E(X)=1/k∑j=0k−1xj
σ2=σ2(X)=1/k∑j=0k−1xj2−µ2
- X a pour valeurs un intervalle [a;b] de ℝ,
et si sa densité de probabilité f(x)=1/b−a pour
tout x de [a;b] et donc :
P(x1<x<x2)=∫x1x2 f(x)dx=x2−x1/b−a.
On a :
µ=E(X)=∫abxf(x)dx=1/2(b-a)(b2-a2)
σ2=σ2(X)=∫ab(x-µ)2f(x)dx=1/3(b-a)(b3-a3)-µ2
La loi de Bernouilli
La variable aléatoire X suit une loi de Bernouilli de probabilité
p, si X vaut
1 ou 0 avec les probabilités respectives p et 1−p.
On a alors :
E(X)=p,
E(X2)=p,
σ(X)=√p(1−p).
La loi binomiale binomial
Si la variable aléatoire X
suit une loi binomiale B(n,p), cela veut dire que X est
égale au nombre de succès obtenus dans une série de n épreuves de
Bernouilli de probabilité p. La variable aléatoire X peut donc prendre
n+1 valeurs : 0,1,...,n.
La loi binomiale B(n,p) est
la somme de n variables de Bernouilli indépendantes.
On a :
Proba(X=k)=Cnk pk(1-p)n-k, pour 0 ≤ k ≤ n,
E(X)=np,
σ(X)=√np(1−p).
Exercice
On fabrique des pièces et on suppose que la probabilité pour qu’une
pièce soit défectueuse est p=0.05 et donc il y a un contrôle de
ces pièces.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de défectueuses
trouvées lors d’un contrôle de n=1000 pièces
Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son écart-type.
Ici X suit une loi binomiale B(n,p) de probabilité p.
E(X)=np=50
σ(X)=√np(1−p)=6.89202437604
La loi des fréquences
Si la variable aléatoire Y
suit la loi, dite loi des fréquences, cela veut dire que Y est
égale à la fréquence des succès obtenus dans une série de n
épreuves de Bernouilli de probabilité p. La variable aléatoire Y peut
donc prendre n+1 valeurs : 0,1/n,2/n...,n/n avec les probabilités :
p0=(1−p)n, p1=comb(n,1)p(1−p)n−1, p2=comb(n,2)p2(1−p)n−2,...pn.
On a :
Proba(Y=k/n)=Cnk pk(1-p)n-k, pour 0 ≤ k ≤ n,
E(Y)=p,
σ(Y)=√p(1−p)/n.
La loi géométrique
tt geometric
On dit que la variable aléatoire X suit une loi géométrique de
probabilité p, si X est égale au nombre de tirages à effectuer pour
avoir un succès dans une série d’épreuves de Bernouilli de probabilité
p. La variable aléatoire X peut donc prendre toutes les valeurs
entières : 1,..,n,...
On a donc :
Proba(X=1)=p
Proba(X=2)=(1−p)p
.....
Proba(X=n)=(1−p)n−1p
.....
On vérifie que l’on a bien :∑j=1..+∞(1−p)k−1p=1
Donc :
F(1)=p
F(n)=∑k=1n(1−p)k−1p=1−(1−p)n
Espérance
Variance et Ecart type
Exercice
On fabrique des pièces et on suppose que la probabilité pour qu’une
pièce soit défectueuse est p=0.05 et donc il y a un contrôle de
ces pièces.
Soit X la variable aléatoire égale à la valeur du nombre de contrôles
effectués pour trouver une pièce défectueuse.
Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son écart-type.
Ici X suit une loi géométrique de probabilité p=0.05.
E(X)=1/p=20
σ(X)=√1−p/p=19.4935886896
La loi de Poisson poisson
La variable aléatoire X suit une loi de Poisson P(λ)
de paramètre λ (λ ≥ 0) si :
- X a pour valeurs les entiers naturels,
- Prob(X=k)=e−λλk/k!, pour k∈ ℕ.
On a :
E(X)=λ
σ(X)=√λ
Exercice 1
Soit une variable aléatoire X qui vérifie pour λ ≥ 0 et pour
tout entier n ≥ 1 :
Prob(X=n)=λ/nProb(X=n−1)
Montrer que X suit une loi de Poisson.
On cherche pour k entier strictement positif :
Prob(X=k)=λ/kProb(X=k−1)=...
λk/(k)!Prob(X=0).
Donc :
On tape :
sum(lambda^
k/k!,k=0..inf)
On obtient :
exp(lambda)
On doit avoir :
∑k=0+∞Prob(X=k)=1
Donc on a le relation :
Prob(X=0)*∑k=0+∞λk/k!=exp(λ)*Prob(X=0)=1
c’est à dire :
Prob(X=0)=exp(−λ)
Donc on a bien :
Prob(X=k)=e−λλk/k!, pour k∈ ℕ
Exercice 2
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une
loi de Poisson :
X suit une loi de Poisson
P(λ1) de paramètre λ1 (λ1 ≥ 0) et
Y suit une loi de Poisson
P(λ2) de paramètre λ2 (λ2 ≥ 0).
Déterminer la loi de la variable aléatoire Z=X+Y.
On a :
Prob(X=k)=e−λ1λ1k/k!, pour k∈ ℕ
Prob(X=k)=e−λ2λ2k/k!, pour k∈ ℕ
Donc :
Prob(Z=n)=Prob(X+Y=n)=∑k=0nProb(X=k)*Prob(Y=n−k)=∑k=0ne−λ1λ1k/k!*e−λ2λ2n−k/(n−k)!
On sait que :
(λ1+λ2)n=∑k=0nλ1kλ2n−kn!/k!(n−k)!
Donc :
Prob(Z=n)=e−(λ1+λ2)(λ1+λ2)n/n!
Donc Z suit une loi de Poisson de paramètre λ1+λ2.
2.3 Variable aléatoire absolument continue
Définitions
Variable aléatoire absolument continue
Une variable aléatoire X est absolument continue si il existe f(x) telle
que sa fonction de répartition F(x) est égale à :
Densité de probabilité
La fonction f(x) est appelée densite de probabilité et on a :
Espérance mathématique
L’espérance mathématique ou moyenne de x est :
Variance et Ecart type
La variance de X est :
L’ecart type de X est :
La loi uniforme uniformd
Définition
On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un segment
[a,b] si sa densité de probabilité f(x) est une constante C sur
[a,b] et est nulle en dehors du segment [a,b].
On a donc :
C=1/b−a puisque ∫abCdt=1
F(x)=0 pour x<a
F(x)=x−a/b−a pour a≤ x<b
F(x)=1 pour x≥ b
Espérance
Variance et Ecart type
Exercice
Soient n variables aléatoires indépendantes Uk qui suivent une loi
uniforme sur [0,1].
On considère les variables X=Max(Uk) et Y=Min(Uk).
Déterminer les fonctions de répartition de X et Y
Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y).
On a :
Proba(X≤ x)=Proba(U1≤ x) et Proba(U2≤ x)...et Proba(Un≤ x)
Donc puisque les Uk sont indépendantes :
Proba(X≤ x)=Πk=1nProba(Uk≤ x)
Soit :
FX(x)=0 pour x<0
FX(x)=xn pour x∈ [0,1]
FX(x)=1 pour x>1
La densité de probabilités vaut fX(x)=nxn−1 sur [0,1] donc :
E(X)=n∫01xndx=n/n+1
V(X)=n∫01(x−n/(n+1))2xn−1dx=n/n3+4*n2+5*n+2
En effet, on tape :
assume(n>=1)
n*int(1(x-n/(n+1))^
2*x^
(n-1),x=0..1)
On obtient :
n/(n^
3+4*n^
2+5*n+2)
On a :
Proba(Y≤ x)=Proba(U1≤ x) ou Proba(U2≤ x)...ou Proba(Un≤ x)
On sait que :
Proba(Y<x)=1−Proba(Y>x) et
Proba(Uk<x)=0 et Proba(Uk>x)=1 si x<0
Proba(Uk<x)=x et Proba(Uk>x)=1−x si 0<x<1
Proba(Uk<x)=1 et Proba(Uk>x)=0 si x>1
On calcule :
Proba(Y>x)=Proba(U1>x) et Proba(U2>x) et....Proba(Un>x)
Comme les Uk sont independants :
Proba(Y>x)=1 si x<0
Proba(Y>x)=(1−x)n si 0<x<1
Proba(Y>x)=0 si 1<x
Donc :
Proba(Y<x)=1−1=0 si x<0
Proba(Y<x)=1−(1−x)n si 0<x<1
Proba(Y<x)=1−0=1 si x>1
La densité de probabilité est donc :
fY(x)=n(1−x)n−1 sur [0;1] et 0 en dehors de [0;1].
donc :
E(Y)=n∫01x(1−x)n−1dx=1/n+1
V(Y)=n∫01(x−1/(n+1))2(1−x)n−1dx=n/n3+4*n2+5*n+2
En effet, on tape :
assume(n>=1)
n*int(x*(1-x)^
(n-1),x=0..1)
On obtient :
1/(n+1)
On tape :
assume(n>=1)
n*int((x-1/(n+1))^
2*(1-x)^
(n-1),x=0..1)
On obtient :
n/(n^
3+4*n^
2+5*n+2)
La loi exponentielle exponentiald
Définition
On dit que la variable aléatoire X suit une loi exponentielle si sa
densité de probabilité vaut pour a>0 :
f(x)=aexp(−ax) pour x≥ 0 et
f(x)=0 pour x<0
On a donc :
F(x)=Proba(X≤ x)=a∫0xexp(−at)dt=1−exp(−ax)
Espérance
Variance et Ecart type
V(X)=a | ∫ | | (t−1/a)2exp(−at)dt= | |
La loi Normale ou loi de Gauss normald
La variable aléatoire X suit une loi Normale ou loi de Gauss
de paramètres µ,σ (σ > 0) si :
- X a pour valeurs tous les réels,
- Prob(a ≤ X<b)=∫ab f(t) dt où
f(x)=1/σ√2πe−1/2(x−µ/σ)2 (f est la densité de probabilité et a comme représentation
graphique une courbe en cloche).
On note cette loi N(µ,σ).
On a :
E(X)=µ
σ(X)=σ.
On dit que N(0,1) est la loi normale centrée réduite.
Si X suit la loi N(0,1) alors :
Prob(a ≤ X<b)=∫ab =1/√2πe−t2/2dt
Si X suit la loi N(µ,σ) alors X−µ/σ
suit la loi N(0,1).
On a des tables où on peut lire que :
P(|X−µ|/σ >1.96)=0.05,
P(|X−µ|/σ >2.58)=0.01,
P(|X−µ|/σ >3.1)=0.001,
et on a P(|X−µ|/σ>t)=1−2∫0t f(x)dx.
Théorèmes
On montre qu’une loi binomiale B(n,p) peut être approchée :
-
par la loi normale N(np,√np(1−p)) si n est
grand (np>15 et n(1−p)>15 ce qui entraine n>30).
Cela veut dire que pour tout entier k :
Cnkpk(1−p)n−k est proche de
1/√2np(1−p)πe−(k−np)2/2np(1−p) quand n est
grand.
Exemple :
On a p(k)=C100k0.2k0.8100−k est proche de
f(k)=1/4√2πe−(k−20)2/32.
Ainsi si X suit la loi B(n,p) et Y suit la loi
N(np,√np(1−p)) alors :
Proba(X=x) sera approché par Proba(x−0.5<Y<x+0.5)
Proba(X<x) sera approché par Proba(Y<x−0.5)
Proba(X≤ x) sera approché par Proba(Y<x+0.5)
- par la loi de Poisson
P(np) si np ≤ 10, p≤ 0.1 et n ≥ 15.
Exemple :
On a p(k)=C50k0.04k0.9650−k est proche de e−22k/k!.
2.3.1 Probabilités et fréquences
La distribution des fréquences issues de la répétition d’expériences
identiques et indépendantes varient alors qu’une loi de probabilité
associée à la réalisation d’une expérience est un invariant.
La fréquence d’un élément est calculée à partir de données
expérimentales alors que sa probabilité est calculée mathématiquement
selon le modéle choisi. Les calculs de la statistique consistent à nous
aider à choisir le bon modèle.
Exemple :
On lance 100 fois, une pièce bien équilibrée, et on obtient 48 faces :
la probabilité
de tomber sur "face" est 0.5 alors que la fréquence d’apparition des
"faces" est ici 0.48.
En statistique on étudie la valeur d’un caractère et en en langage
probabiliste on étudie la valeur d’une variable aléatoire.
En statistique on parle de fréquences et en langage probabiliste on parle de
probabilité.
En statistique on parle de moyennes et en en langage probabiliste on parle
d’espérance.
Dans le monde théorique défini par une loi de probabilité P sur un
ensemble Ω,
les fréquences des éléments de Ω dans une suite de n
expériences identiques et indépendantes tendent vers leur probabilité
quand n augmente indéfiniment.
2.4 Probabilités conditionnelles
Définition
Soit, deux événements A et B dans un espace de probabilisé.
On dit que les événements A et B sont indépendants si et seulement
si :
Prob(A⋂ B)=Prob(A)*Prob(B) |
Définition
La probabilité de B sachant A notée ProbA(B) est la
probabilité de B quand A est réalisé.
Théorème
On a :
Exercice
Dans une fabrique de pièces il y a 5% de pièces défectueuses.
Lors des contrôles :
- les pièces bonnes sont refusées avec une probabilité de 4%.
- les pièces défectueuses sont refusées avec une probabilité de 98%.
Calculer pour une pièce :
-
La probabilité de commettre une erreur.
- La probabilité d’être bonne sachant qu’elle a été refusée
- La probabilité d’être défectueuse sachant qu’elle a été
acceptée
On a les événements :
A la pièce est acceptée,
R la pièce est refusée,
B la pièce est bonne,
D la pièce est défectueuse.
C la pièce est jugée conforme.
On a les probabilités :
ProbB(R)=0.04
ProbD(R)=0.98
ProbD(A)=0.02
Prob(B)=0.95
Prob(D)=0.05
-
Une pièce est jugée non conforme si elle est bonne et refusée ou
si elle est défectueuse et acceptée donc :
Prob(R)=Prob(R∩ B)+Prob(A∩ D)
On a :
Prob(R∩ B)=ProbB(R)*Prob(B)=0.04*0.95=0.038
Prob(A∩ D)=ProbD(A)*Prob(D)=0.02*0.05=0.001
Donc la probabilité d’être refusée est :
Prob(R)=0.038+0.049=0.913
Donc la probabilité d’être acceptée est :
Prob(A)=1−0.913=0.087
- La probabilité d’être bonne sachant qu’elle a été refusée
On a :
ProbR(B)=Prob(R∩ B)/Prob(R)=0.038*0.087=0.003306
- La probabilité d’être défectueuse sachant qu’elle a été
acceptée.
La probabilité d’être défectueuse et acceptée est :
Prob(A∩ D)=1−Prob(R∩ D)=1−0.049=0.951
ProbA(D)=Prob(A∩ D)/Prob(A)=0.001*0.087=8.7e−5
2.5 Variables aléatoires
Une variable aléatoire permet de faire correspondre à un espace
probabilisable Ω, un espace probabilisable d’univers ℝ.
Définitions
Soit (Ω, τ) un espace probabilisable.
On appelle variable aléatoire sur cet espace toute application X de
Ω vers ℝ telle que toute
réunion dénombrables d’intervalles B de ℝ, X−1∈ B.
On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire X la
fonction F de ℝ dans [0,1] par :
F(x)=Prob(X≥ x).
Une variable aléatoire peut être :
discréte et finie (si X(Ω)={x1,x2....xn}) ou,
discréte et infinie (si X(Ω)={x1,x2....xj...}) ou,
absolument continue (si sa fonction de répartition
F(x)=∫−∞xf(t)dt).
La fonction f est
alors appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
On appelle espérance mathématique (ou moyenne) de la variable
aléatoire X, le nombre :
-
X est discréte et finie:
E(X)=∑j=1nxjProb(X=xj)
- X est discréte et infinie:
E(X)=∑j=1+∞xjProb(X=xj)
- X est absolument continue:
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx
On appelle variance de la variable aléatoire X, le nombre :
-
X est discréte et finie:
V(X)=∑j=1n(xj−E(X))2Prob(X=xj)
- X est discréte et infinie:
V(X)=∑j=1+∞(xj−E(X))2Prob(X=xj)
- X est absolument continue:
V(X)=∫−∞+∞(x−E(X))2f(x)dx
On a :
V(X)=E(X2)−E(X)2.
On appelle écart type de la variable aléatoire X, le nombre :
σ(X)=√V(X)
2.6 Le processus de Poisson
2.6.1 Définitions
Le processus de Poisson gére les événements qui se produisent
aléatoirement.
On dit que des événements aléatoires suivent un processus de Poisson
de paramètre λ si le nombre d’événements produit dans l’intervalle
t suit une loi de Poisson de paramètre λ t.
Si les intervalles de temps sont disjoints le nombre d’événements produit
dans ces intervalles sont indépendants.
On a donc si N(t) est le nombre d’événements produit dans l’intervalle
t : Proba(N(t)=k)=e−λ t(λ t)k/k! et donc :
Proba(N(t)=0)=e−λ t
On considère les variables aléatoires T1, T2, Tn qui représentent
l’intervalle d’attente entre la production de 2 évenements. T1, T2, Tn
sont indépendantes et suivent une loi exponnentielle de paramètre λ,
en effet :
Proba(T1(t)≤ t)=1−Proba(T1(t)≥ t)=1−Proba(N(t)=0)=1−e−λ t.
Soit Sn la variable aléatoire qui représente le temps d’attente de la
production du n-ième évenement. On a donc :
Sn(t)=T1(t)+T2(t)+...+ Tn(t) et
Proba(Sn(t)≤ t)=Proba (N(t)≥ n)=1−e−λ t∑k=0n−1(λ t)k/k!.
La densité de probabilité fSn(t) de Sn est donc égale à :
fSn(t)=−e−λ t(−λ ∑k=0n−1(λ t)k/k!+λ ∑k=1n−1(λ t)k−1/(k−1)!)
Donc :
fSn(t)=λ e−λ t(λ t)n−1/(n−1)!
Sn suit donc une loi gamma ou loi de Erlang de paramètres n et
λ.
Puisque Sn(t)=T1(t)+T2(t)+...+ Tn(t) et que les Tj sont indépendantes
et suivent la même loi, on a :
E(Sn)=n*E(T1)=n/λ et
V(Sn)=n*V(T1)=n/λ2
-
Des événements aléatoires suivent un processus de Poisson
de paramètre 3 par heure. Quelle est la probabilité qu’aucun événement
survienne entre 12h et 14h ?
Calculer la moyenne du temps d’attente pour la venue du 5-ième
événement.
On a :
Proba(N(2)=0)=e−3*2=e−6
la probabilité qu’aucun événement survienne entre 12h et 14h est donc de
e−6≃ 0.00247875217667
E(S5)=5/3h=1h40mn
La venue du 5-ième événement aura lieu en moyenne au bout de 1h40mn. - Le nombre de clients qui entrent dans un magasin suit un processus de
Poisson de paramètre λ par heure.
Sachant que 2 clients sont venus entre 14h et 15h :
Quelle est la probabilité qu’ils soient venus tous les deux entre 14h et
14h20 ?
Quelle est la probabilité pour qu’au moins 1 client soit venus entre 14h et
14h30 ?
On a :
Proba(N(1)=2)=e−λλ2/2
Proba(N(1/3)=2)|(N(1)=2)=
Proba((N(1/3)=2)∩(N(1)=2))/Proba(N(1)=2).
Proba((N(1/3)=2)∩(N(1)=2))=
Proba((N(1/3)=2)∩(N(2/3)=0))=
Proba(N(1/3)=2*Proba(N(2/3)=0))=e−λ/3*(λ/3)2/2*e−2λ/3=
e−λ(λ/3)2
Donc Proba(N(1/3)=2|(N(1)=2))=1/9≃ 0.111111111111 est la probabilité
que 2 clients soient venus tous les deux entre 14h et
14h20 sachant que 2 clients sont venus entre 14h et 15h
On cherche :
Proba(N(1/2)≥ 1)|(N(1)=2))=
1-Proba((N(1/2)=0)|(N(1)=2))=
1-Proba((N(1/2)=0)∩(N(1)=2))/Proba(N(1)=2)=
1-Proba(N(1/2)=0))*Proba(N(1/2)=2))/Proba(N(1)=2)=
1−e−λ/2*e−λ/2*(λ/2)2/2/(e−λλ2/2)=1−1/4=3/4
La probabilité pour qu’au moins 1 client soit venu entre 14h et
14h30 sachant que 2 clients sont venus entre 14h et 15h est donc de 0.75.
2.7 Couple de variables aléatoires discrètes
2.7.1 Définitions
On appelle fonction de répartition du couple de variables aléatoires
discrètes (X,Y) sur le même espace probabilisé, la fonction F
définie par :
F(x,y)=Prob((X≥ x)∩ (Y≥ y)).
On appelle loi conjointe du couple de variables aléatoires discrètes
(X,Y), l’application p définie par :
p(xi,yj)=Prob((X=xi)∩ (Y=yj)).
On a donc si xpx≤ x<xpx+1 et yqy≤ y<yqy+1 :
F(x,y)=∑i=1px∑i=1qyp(xi,yj).
On appelle loi de probabilités marginales du couple de variables
aléatoires discrètes (X,Y), les lois de probabilité de X et de Y
i.e. l’application pX définie par :
p(xi)=Prob(X=xi) et
l’application pY définie par :
p(yj)=Prob(Y=yj).
On appelle répartitions marginales du couple de variables aléatoires
discrètes (X,Y), les fonctions de répartition FX pour X et FY
pour Y définies par :
FX(x)=Prob(X≤ x) et
FY(y)=Prob(Y≤ y).
On appelle loi de probabilité conditionnelle de Y sachant que X=xi
l’application qui a yj fait correspondre :
| Prob((X=xi)⋂ (Y=yj)) |
|
Prob(X=xi) |
|
-
Soient deux variables aléatoires X et Y valant 0 ou 1 et telles que :
Prob((X=0)∩(Y=0))=0.4
Prob((X=0)∩(Y=1))=0.2
Prob((X=1)∩(Y=0))=0.1
Prob((X=1)∩(Y=1))=0.3
Calculer la probabilité de X sachant que Y=1.
- Soient deux variables aléatoires X et Y indépendantes qui suivent
une loi de Poisson de paramètres λ1 et λ2. Calculer la
probabilité de X sachant que X+Y=n avec n ∈ ℕ.
-
On a :
Prob(Y=1)=Prob((X=0)∩(Y=1))+Prob((X=0)∩(Y=1))=0.2+0.3=0.5 et
Prob((X=0)/(Y=1))=Prob((X=0)∩(Y=1))/Prob(Y=1)
Prob((X=1)/(Y=1))=Prob((X=1)∩(Y=1))/Prob(Y=1)
Donc :
Prob((X=0)/(Y=1))=0.2/0.5=0.4 et
Prob((X=1)/(Y=1))=0.3/0.5=0.6 - On a :
Prob(X=k)=λ1ke−λ1/k! et
Prob((X=k)/(X+Y=n))=Prob((X=k)∩(Y=n−k))/Prob(X+Y=n)
On a montré (cf 2.2) que Z=X+Y suit une loi de poisson de
paramètre λ1+λ2 donc
Prob(X+Y=n)=(λ1+λ2)ne−(λ1+λ2)/n!
Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes donc pour 0≤ k ≤ n on a :
Prob((X=k)∩(Y=n−k))=Prob(X=k)*Prob(Y=n−k)
Donc :
Prob((X=k)/(X+Y=n))=λ1ke−λ1λ2n−ke−λ2n!/k!(n−k)!(λ1+λ2)ne−(λ1+λ2)
Prob((X=k)/(X+Y=n))=λ1kλ2n−kn!/(λ1+λ2)nk!(n−k)!=
n!/k!(n−k)!(λ1/λ1+λ2)k(λ2/λ1+λ2)n−k.
Donc la probabilité de X sachant que X+Y=n avec n ∈ ℕ est la loi
binomiale B(n,λ1/λ1+λ2,λ2/λ1+λ2)
2.8 Couple de variables aléatoires continues
2.8.1 Définitions
On appelle fonction de répartition du couple de variables aléatoires
continues (X,Y) sur le même espace probabilisé, la fonction F(X,Y)
définie par :
F(X,Y)(x,y)=∫−∞x(∫−∞yf(X,Y)(u,v)dv)du.
La fonction f(X,Y) est appelée densité de probabilité du couple de
variables aléatoires continues (X,Y).
La probabilité relative à un pavé
D={(x,y)∈ ℝ2 a≤ x ≤ b,c≤ y ≤ d } est :
Prob((X=x et Y=y et (x,y)∈ D ))=∫cd(∫ab f(x,y)dx) dy.
La probabilité relative à un domaine de Borel
D (D est la reunion (ou intersection) dénombrable d’une suite de pavés)
est :
Prob((X=x et Y=y et (x,y)∈ D ))=∫∫D f(x,y)dx dy.
On appelle répartitions marginales du couple de variables aléatoires
continues (X,Y), les fonctions de répartition FX pour X et FY pour Y
définie par :
FX(x)=∫−∞x(∫−∞+∞f(X,Y)(u,v)dv)du et
FY=∫−∞y(∫−∞+∞f(X,Y)(u,v)du)dv.
On appelle densités marginales du couple de variables
aléatoires continues (X,Y), les fonctions fX pour X et fY pour Y
définies par :
fX(x)=∫−∞+∞f(X,Y)(x,y)dy et
fY(y)==∫−∞+∞f(X,Y)(x,y)dx.
On a donc : f(X,Y)(x,y)=∂2F(X,Y)/∂ x ∂ y.
On appelle probabilité conditionnelle de Y sachant que
x≤ X≤ x+dx l’application qui a y fait correspondre :
On appelle densité conditionnelle de Y sachant que
x≤ X≤ x+dx l’application fY/X définie par :
Si X et Y sont indépendantes alors f(X,Y)(x,y)=fX(x)* fY(y)
-
Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de
variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
f(x,y)=12/5x(2x−y) si x∈ [0,1] et y∈ [0,1] et
f(x,y)=0 sinon.
Calculer la probabilité conditionnelle de X sachant que y≤ Y≤ y+dy.
On vérifie :
∫01∫0112/5x(2−x−y)dxdy=∫0112/5(1−1/3−y/2)dy=12/5(2/3−1/4)=1
Ou on tape avec Xcas :
int(int(12/5*x*(2-x-y),x=0..1),y=0..1)
On obtient : 1
On calcule fY(y) et on tape :
int(12/5*x*(2-x-y),x=0..1)
On obtient : -6/5*y+8/5
On calcule fX/Y(x/y) et on tape :
factor((12/5*x*(2-x-y))/(-6/5*y+8/5))
On obtient : (6*x*(y+x-2))/(3*y-4)
Donc fX/Y(x/y) est égale à :
- Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de
variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
f(x,y)=6/7(x2+xy/2) si x∈ [0,1] et
y∈ [0,2] et f(x,y)=0 sinon.
Calculer :
-
la densité de probabilité de X.
- P(X>Y).
- P(Y>1/2|X<1/2).
On vérifie que :
∫01(∫02 f(x,y)dy)dx=1
On tape :
6/7*int(int(x^
2+x*y/2,y=0..2),x=0..1)
On obtient : 1
-
la densité de probabilité de X est égale à :
fX(x)=∫02f(x,y)dy
On tape :
6/7*(int(x^
2+x*y/2,y=0..2)
On obtient : (6*(2*x^
2+x))/7
la fonction de répartition de X est donc égale à :
FX(x)=∫01fX(u)du
On tape :
6/7*(int(2*u^
2+u,u=0..x)
On obtient : (6*(2/3*x^
3+1/2*x^
2))/7 - P(X>Y).
On a si T={((x,y) ∈ [0,1]×[0,2]; x>y }:
P(X>Y)=∫∫Tf(x,y)dxdy
T est le triangle rectangle isocèle de sommets (0,0),(1,0),(1,1) donc :
P(X>Y)=∫01∫0xf(x,y)dxdy
On tape :
6/7*int(int(x^
2+x*y/2,y=0..x),x=0..1)
On obtient : 15/56
- P(Y>1/2|X<1/2).
On a :
P(Y>1/2|X<1/2)=P((Y>1/2) ∩ (X<1/2))/P(X<1/2)
On a déja calculer P(X<1/2) :
P(X<1/2)=FX(1/2)
On tape :
subst((6*(2/3*x^
3+1/2*x^
2))/7,x=1/2)
On obtient : 5/28
On calcule P((Y>1/2) ∩ (X<1/2)) :
P((Y>1/2) ∩ (X<1/2))=∫01/2(∫1/22f(x,y)dy)dx
On tape :
6/7*int(int(x^
2+x*y/2,y=1/2..2),x=0..1/2)
On obtient : 69/448
Donc :
P(Y>1/2|X<1/2)=(69/448)/(5/28)=69/80
- Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de
variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
f(x,y)=e−(x+y) si x∈ ]0,+∞[ et y∈ ]0,+∞[ et f(x,y)=0 sinon.
Calculer la densité de probabilité de Y.
Calculer P(X<Y).
On vérifie tout d’abord que :
∫0+∞(∫0+∞ e−(x+y)dx)dy=1
On tape :
int(int(exp(-(x+y)),y=0..inf),x=0..inf)
On obtient :
1
On a :
fY(y)=∫0+∞ e−(x+y)dx
On tape :
int(exp(-(x+y)),x=0..inf)
On obtient :
exp(-y)
On a si D est la portion de plan {x>0,y>x}:
P(X<Y)=∫∫D e−(x+y)dx)dy
On tape :
int(int(exp(-(x+y)),y=x..inf),x=0..inf)
On obtient :
1/2
- Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de
variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
f(x,y)=e−x/ye−y/y si x∈ ]0,+∞[ et y∈ ]0,+∞[ et f(x,y)=0 sinon.
Calculer la densité de probabilité de Y.
Calculer la probabilité de l’événement X>1 sachant que Y=y.
On vérifie tout d’abord que :
∫0+∞(∫0+∞ e−x/ydx)e−y/ydy=1
On tape :
assume(y>0)
integrate(integrate(exp(-x/y),x=0..inf)*exp(-y)/y,y=0..inf)
On obtient :
1
La densité de probabilité de Y
fY(y)=∫0+∞f(x,y)dx=∫0+∞e−x/ye−y/ydx
On tape :
integrate(exp(-x/y)*exp(-y)/y,x=0..inf)
On obtient :
exp(-y)
La densité de probabilité de X sachant que Y=y est :
f(x,y)/fY(y)=e−x/ye−y/y/e−y=e−x/y/y
La probabilité de l’événement X>1 sachant que Y=y est :
Prob(X>1/Y=y)=1−Prob(X<1/Y=y)=1−∫01e−x/y/ydx
On tape :
integrate(exp(-x/y)/y,x=0..1)
On obtient :
-exp(-(1/y))+1
Donc Prob(X>1/Y=y)=e−1/y - Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de
variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
f(x,y)=6/7(x2+xy/2) si x∈ [0,1] et
y∈ [0,2] et f(x,y)=0 sinon.
Calculer la densité de probabilité de X.
Calculer la probabilité de l’événement X>Y.
Calculer la probabilité conditionnelle de X sachant que y≤ Y≤ y+dy.
On vérifie tout d’abord que :
6/7∫01(∫02 (x2+xy/2dy)dx=1
On tape :
integrate(integrate(6/7*(x^
2+x*y/2),y=0..2),x=0..1)
On obtient :
1
La densité de probabilité de X vaut :
fX(x)=∫02f(x,y)dy=6/7∫02x2+xy/2dy=2x2+x
La probabilité de l’événement X>Y est :
Prob(X>Y)=∫∫Tdxdy où T est l’intersection du rectangle
R=[0,1]× [0,2] et du demi-plan x>y c’est à dire le triangle T
rectangle isocèle de côtés 1.
Prob(X>Y)=6/7∫01(∫0xx2+xy/2dy)dx
On tape :
integrate(integrate(6/7*(x^
2+x*y/2),y=0..x),x=0..1)
On obtient :
15/56 - Soient X et Y deux variables aléatoires uniformes et indépendantes
sur [0,1].
Calculer la fonction de répartition, la moyenne,la variance et l’écart type
des variables aléatoires Z1=X+Y, Z2=|X−Y| et Z3=X/Y.
On cherche les fonctions de répartition de Z1, Z2 et de Z3 c’est à
dire :
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=Prob(X+Y≤ z) et
FZ2(z)=Prob(Z2≤ z)=Prob(|X−Y|≤ z).
FZ3(z)=Prob(Z3≤ z)=Prob(X/Y≤ z).
X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi
uniforme sur [0,1] donc :
Prob(X≤ x)=0 si x≤ 0
Prob(X≤ x)=x si x∈[0,1]
Prob(X≤ x)=1 si x≥ 1
et
Prob(Y≤ y)=0 si y≤ 0
Prob(Y≤ y)=y si y∈[0,1]
Prob(Y≤ y)=1 si y≥ 1
Donc puisque X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes :
la densité de probabilité du couple (X,Y) est le produit de la
densité de probabilité de X par la densité de probabilité de Y :
f(X,Y)(x,y)=fX(x)*fY(y) c’est à dire :
f(X,Y)(x,y)=0 si (x,y)∉ [0,1]× [0,1]
f(X,Y)(x,y)=xy si (x,y)∈ [0,1]× [0,1]
-
Étude de Z1
Prob(X+Y≤ z)=∫∫Ddxdy où D est l’intersection du carré
C (C=[0,1]× [0,1]) et de {(x,y); y+x≤ z}.
On va considérer 4 cas :
-
si z≤ 0, l’intersection de {(x,y); y+x≤ z} et du carré C est vide donc
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=0 et fZ1(z)=0
- si 0<z≤ 1, l’intersection D de {(x,y); y+x≤ z} et du
carré C est un le triangle rectangle isocèle de côtés z donc :
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=∫∫Ddxdy=z2/2 et fZ1(z)=z
- si 1<z<2, l’intersection D de {(x,y); y+x≤ z} et du carré
C est un le carré privé d’un triangle rectangle isocèle T de
côtés 2−z donc on a :
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=∫∫Ddxdy=1−(2−z)2/2 et fZ1(z)=2−z
- si z≥ 2, l’intersection de {(x,y) ; y+x≤ z} et du carré C est C donc
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=1 et fZ1(z)=0
Donc :
fZ1(z)=
| ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ | z | si | 0≤ z ≤ 1 |
2−z | si | 1≤ z ≤ 2 |
0 | si | z≤ 0 ou z ≥ 2 |
|
|
Calcul de E(Z1)
On a :
E(Z1)=∫−∞+∞zfZ1(z)dz=∫01z2dz+∫12z(2−z)dz=
1/3+3−8/3+1/3=1
Ou on tape :
int(z^
2,z=0..1)+int(z*(2-z),z=1..2)
On obtient : 1
Donc E(Z1)=1Calcul de V(Z1) et de σ(Z1)
On a :
V(Z1)=∫−∞+∞(z−1)2fZ1(z)dz=
∫01z(z−1)2dz+∫12(z−1)2(2−z)dz
On tape :
int(z*(z-1)^
2,z=0..1)+int((z-1)^
2*(2-z),z=1..2)
On obtient : 1/6
Donc V(Z1)=1/6 et σ(Z1)=√6/6.
- Étude de Z2
Prob(|X−Y|≤ z)=∫∫Ddxdy où D est l’intersection de
{(x,y) / |x−y|≤ z} et du carré C =[0,1]× [0,1].
On va considérer 3 cas :
-
si z≤ 0, l’intersection de {(x,y) / |x−y|≤ z} et du carré
C est vide puisque {(x,y) / |x−y|≤ z} est vide donc
FZ2(z)=Prob(Z2≤ z)=0 et fZ2(z)=0
- si 0<z≤ 1, l’intersection B de {|x−y| ≤ z} et du
carré C est une portion du carré limité par les droites y=x+z et
y=x−z c’est à dire C privé de deux triangles rectangles isocèles de
côtés 1−z donc :
F22(z)=Prob(Z2≤ z)=∫∫Bdxdy=1−2*(1−z)2/2=2z−z2 et fZ2(z)=2−2z
- si z≥ 1, l’intersection de {(x,y) / y+x≤ z} et du carré C est C donc
FZ2(z)=Prob(Z2≤ z)=1 et fZ2(z)=0
Donc :
fZ2(z)=
| ⎧
⎨
⎩ | 2−2z | si | 0≤ z ≤ 1 |
0 | si | z≤ 0 ou z ≥ 1 |
|
|
Calcul de E(Z2)
On a :
E(Z2)=∫−∞+∞zfZ2(z)dz=∫01z(2−2z)dz=1−2/3=1/3
Ou on tape :
int(z*(2-2z),z=0..1)
On obtient : 1/3
Donc E(Z2)=1/3Calcul de V(Z2) et de σ(Z2)
On a :
V(Z2)=∫−∞+∞(z−1)2fZ1(z)dz=∫01(2−2z)(z−1/3)2dz
On tape :
int((2-2z)*(z-1/3)^
2,z=0..1)
On obtient : 1/18
Donc V(Z2)=1/18 et σ(Z2)=√2/6
- Étude de Z3
Prob(X/Y≤ z)=∫∫Ddxdy où D est l’intersection du carré
C (C=[0,1]× [0,1]) et de {(x,y); x/y≤ z}.
On va considérer 3 cas :
-
si z≤ 0, l’intersection de {(x,y); x/y≤ z} et du carré
C est vide donc
FZ3(z)=Prob(Z3≤ z)=0 et fZ3(z)=0
- si 0<z≤ 1, l’intersection T de {(x,y); x/y≤ z} et du
carré C est un le triangle rectangle de côtés 1 et z donc :
FZ3(z)=Prob(Z3≤ z)=∫∫Tdxdy=z/2 et fZ3(z)=1/2
- si 1<z, l’intersection D de {(x,y); x/y≤ z} et du carré
C est un le carré privé d’un triangle rectangle T de
côtés 1 et 1/z donc on a :
FZ3(z)=Prob(Z3≤ z)=∫∫Ddxdy=1−1/(2*z) et fZ1(z)=1/(2*z2)
Donc :
fZ3(z)=
| ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ | 0 | si | z ≤ 0 |
1/2 | si | 0 ≤ z ≤ 1 |
1/(2*z2) | si | z ≥ 1 |
|
|
Calcul de E(Z3)
On ne peut pas calculer E(Z3) car :
+∫1+∞z/(2*z2)dz n’est pas convergente.
- Soient X une variable aléatoire uniforme sur [0,1] et Y une
variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=1.œn suppose X et Y indépendantes.
Calculer la fonction de répartition, la moyenne,la variance et l’écart type
des variables aléatoires Z1=X+Y, Z2=|X−Y| et Z3=X/Y.
On a :
fX(x)=1 pour 0≤ x ≤ 1 et
fY(y)=0 pour x<0 ou x>1
donc :
Prob(X≤ x)=0 si x≤ 0
Prob(X≤ x)=x si x∈[0,1]
Prob(X≤ x)=1 si x≥ 1
On a :
fY(y)=exp(−y) pour y≥ 0 et
fY(y)=0 pour y<0
donc :
Prob(Y≤ y)=0 si y≤ 0
Prob(Y≤ y)=1−exp(−y) si y∈[0,∞[
On cherche les fonctions de répartition de Z1, Z2 et de Z3 c’est à
dire :
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=Prob(X+Y≤ z) et
FZ2(z)=Prob(Z2≤ z)=Prob(|X−Y|≤ z).
FZ3(z)=Prob(Z3≤ z)=Prob(X/Y≤ z).
Donc puisque X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes :
la densité de probabilité du couple (X,Y) est le produit de la
densité de probabilité de X par la densité de probabilité de Y :
f(X,Y)(x,y)=fX(x)*fY(y) c’est à dire :
Si D=D=[0,1]× [0,+∞[ on a
f(X,Y)(x,y)=0 si (x,y) ∉ D
f(X,Y)(x,y)=exp(−y) si (x,y) ∈ D
-
Étude de Z1
Prob(X+Y≤ z)=∫∫Kexp(−y)dxdy où K est l’intersection de
D (D=[0,1]× [0,+∞[) et de {(x,y); y+x≤ z}.
On va considérer 3 cas :
-
si z≤ 0, l’intersection de {(x,y); y+x≤ z} et de D est
vide donc
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=0 et fZ1(z)=0
- si 0<z≤ 1, l’intersection K de {(x,y); y+x≤ z} et de D
est un le triangle rectangle isocèle de côtés z donc :
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=∫0z(∫0xexp(−y)dy)dx
On tape :
int(int(exp(-y),y=0..x),x=0..z)
On obtient : z+exp(-z)-1
donc
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=z+exp(−z)−1 et fZ1(z)=1−exp(−z)
- si 1<z<+∞, l’intersection K de {(x,y); y+x≤ z} et de
D est un le trapèze rectangle de hauteur 1 et de
côtés z et z−1 donc on a :
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=∫01(∫0z−xexp(−y)dy)dx.
On tape :
int(int(exp(-y),y=0..z-x),x=0..1)
On obtient : -exp(-z+1)+1+exp(-z)
donc
FZ1(z)=Prob(Z1≤ z)=−exp(−z+1)+1+exp(−z)−1 et
fZ1(z)=exp(−z+1)−exp(−z)
Donc :
fZ1(z)=
| ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ | 0 | si | z≤ 0 |
1−exp(−z) | si | 0≤ z ≤ 1 |
exp(−z+1)−exp(−z) | si | 1≤ z |
|
|
Calcul de E(Z1)
On a :
E(Z1)=∫−∞+∞zfZ1(z)dz=
∫01z−zexp(−z)dz+∫1+∞z(exp(−z+1)−exp(−z))dz
On tape :
normal(int(z-z*exp(-z),z=0..1)+
int(z*exp(-z+1)-z*exp(-z),z=1..inf))
On obtient : 3/2
Donc E(Z1)=3/2Calcul de V(Z1) et de σ(Z1)
On a :
V(Z1)=∫−∞+∞(z−3/2)2fZ1(z)dz=∫01(z−3/2)2(1−exp(−z))dz+
∫1+∞(z−3/2)2(exp(−z+1)−exp(−z))dz
On tape :
int((z-3/2)^
2*(1-exp(-z)),z=0..1)+
int((z-3/2)^
2*(exp(-z+1)-exp(-z)),z=1..inf)
On obtient : 13/12
Donc V(Z1)=13/12 et σ(Z1)=√13/(2√3).
- Étude de Z2
Prob(|X−Y|≤ z)=∫∫Ddxdy où D est l’intersection de
{(x,y) / |x−y|≤ z} et de D =[0,1]× [0,+∞[.
On va considérer 3 cas :
-
si z≤ 0, l’intersection de {(x,y) / |x−y|≤ z} et de
D est vide puisque {(x,y) / |x−y|≤ z} est vide donc
FZ2(z)=Prob(Z2≤ z)=0 et fZ2(z)=0
- si 0<z≤ 1, l’intersection B de {|x−y| ≤ z} et de D est une portion de D limitée par les droites y=x+z et
y=x−z donc :
F22(z)=Prob(Z2≤ z)=∫∫Df(x,y)dxdy
F22(z)=∫0z(∫0x+zexp(−y)dy)dx+∫z1(∫x−zx+zexp(−y)dy)dx
On tape :
normal(int(int(exp(-y),y=0..x+z),x=0..z)+
int(int(exp(-y),y=x-z..x+z),x=z..1))
On obtient : z+exp(-(z+1))-exp(-z)-exp(z-1)+1
Donc F22(z)=z+exp(−(z+1))−exp(−z)−exp(z−1)+1 et
fZ2(z)=1−exp(−(z+1))+exp(−z)−exp(z−1)
- si z≥ 1, l’intersection de {(x,y) / y+x≤ z} et de D est la portion de D située sous la droite y=x+z donc
FZ2(z)=Prob(Z2≤ z)=∫01(∫0x+zexp(−y)dy)dx
On tape :
int(int(exp(-y),y=0..x+z),x=0..1)
On obtient : exp(-1-z)+1-exp(-z)
Donc F22(z)=exp(−1−z)+1−exp(−z) et fZ2(z)=−exp(−1−z)+exp(−z)
Donc :
fZ2(z)=
| ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ | 0 | si | z≤ 0 |
1−exp(−(z+1))+exp(−z)−exp(z−1) | si | 0≤ z ≤ 1 |
−exp(−1−z)+exp(−z) | si | z ≥ 1 |
|
|
Calcul de E(Z2)
On a :
E(Z2)=∫−∞+∞zfZ2(z)dz
On tape :
normal(int(z*(1-exp(-(z+1))+exp(-z)-exp(z-1)),z=0..1)+
int(z*(-exp(-1-z)+exp(-z)),z=1..inf))
On obtient : -2*exp(-1)+3/2
Donc E(Z2)=−2exp(−1)+3/2Calcul de V(Z2) et de σ(Z2)
On a :
V(Z2)=∫−∞+∞(z+2exp(−1)−3/2)2fZ1(z)dz
On tape :
normal(int((z+2*exp(-1)-3/2)^
2*(1-exp(-(z+1))+exp(-z)-exp(z-1)),z=0..1)+ int((z+2*exp(-1)-3/2)^
2*(-exp(-1-z)+exp(-z)),z=1..inf))
On obtient : 6*exp(-1)-4*exp(-2)+(-11)/12
Donc V(Z2)=6exp(−1)−4exp(−2)+(−11)/12 et σ(Z2)=√V(Z2)
- Étude de Z3
Prob(X/Y≤ z)=∫∫Kdxdy où K est l’intersection de
D (D=[0,1]× [0,+∞[) et de {(x,y); x/y≤ z}.
On va considérer 2 cas :
-
si z≤ 0, l’intersection de {(x,y); x/y≤ z} et de
D est vide donc
FZ3(z)=Prob(Z3≤ z)=0 et fZ3(z)=0
- si 0<z, l’intersection K de {(x,y); x/y≤ z} et de D est
égal à D privé du triangle rectangle de côtés 1 et 1/z donc :
FZ3(z)=Prob(Z3≤ z)=∫∫Df(x,y)dxdy=z/2
On tape :
int(int(exp(-y),y=x/z..inf),x=0..1)
On obtient : -z*exp(-(1/z))+z
Donc :
FZ3(z)=−zexp(−(1/z))+z et fZ3(z)=(−z*exp(−(1/z))+z−exp(−(1/z)))/z
Donc :
fZ3(z)=
| ⎧
⎨
⎩ | 0 | si | z ≤ 0 |
(−zexp(−(1/z))+z−exp(−(1/z)))/z | si | 0 ≤ z |
|
|
Calcul de E(Z3)
On a :
E(Z3)=∫−∞+∞zfZ2(z)dz
On tape :
romberg((-z*exp(-1/z)+z-exp(-1/z)),z=0..1e20)
On obtient : -2*exp(-1)+3/2
Donc E(Z2)∼ 7.8Calcul de V(Z3) et de σ(Z3)
On a :
V(Z3)=E(Z32)−(E(Z3))2
E(Z32)=∫0+∞z*(−z*exp(−1/z)+z−exp(−1/z))dz
On tape :
limit(z*(-z*exp(-1/z)+z-exp(-1/z)),z=inf)
On obtient : 1/2
Donc l’intégrale calculant E(Z32) diverge donc on ne peut pas calculer la
variance de Z3.
- Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de
variables aléatoires continues (X,Y) définie pour c∈ ℝ par :
f(x,y)=c(x2−y2)exp(−x) si x∈ ]0,+∞[ et y∈ [−x,x] etf(x,y)=0 sinon.
Calculer :
-
la valeur de c,
- la probabilité conditionnelle de Y sachant que x≤ X≤ x+dx.
-
On doit avoir :
I= c∫0+∞(∫−xx(x2−y2)exp(−x)dy)dx=1
On a :
I=c∫0+∞2(x3−x3/3)exp(−x)dx=4c/3∫0+∞x3exp(−x)dx
La primitive de x3exp(−x) est de la forme (ax3+bx2+cx+d)exp(−x) donc
on a pour tout x :
ax3+(3a−b)x2+(2b−c)x+c−d=x3
soit :
a=1, b=3, c=6 d=6 c’est à dire :
I=4c/3∫0+∞x3exp(−x)dx=4c/3*6=1
Donc 8c=1 d’où c=1/8.
Ou on tape avec Xcas :
int(int((x^
2-y^
2)*exp(-x),y=-x..x),x=0..inf)
On obtient : 8
Donc 8c=1 d’où
- la probabilité conditionnelle de Y sachant que x≤ X≤ x+dx
est :
Calcul de fX(x) :
fX(x)=∫−xxf(x,y)dy=c∫−xx(x2−y2)exp(−x)dy=4c/3x3exp(−x)
donc :
Prob(Y<y0|X=x)=∫−xy03(x2−y2)/4x3dy=
∫−xy03/4x−3y2)/4x3dy=3y0/4x+3/4−y03)/4x3−1/4
donc
Prob(Y<y|X=x)=1/2+3y/4x−y3)/4x3
Ou on tape avec Xcas :
int((x^
2-y^
2)*exp(-x)/int((x^
2-y^
2)*exp(-x),y=-x..x),y=-x..y)
On obtient : (3*x^
2*y-y^
3)/(4*x^
3)-(1/-2)