- Mon, 20 Feb 2006 鴨浩靖氏によってmxicoはX.org6.9のicoに追従した。アーカイブを いただいて、mxicoを1.0.1にバージョンアップした。
立体図形の中でも特に美しいものに、プラトンの正多面体というのがあります。 同じ正多角形を用い、同じ頂点にする、という非常に厳しい条件を課すにもかかわらず、 五種類もあることが知られています。 しかし、条件を緩和してゆくとさらに種類が増え、準正多面体、 ザルガラー多面体などがあり、それらもまた、大変美しい形をしているだけでなく、 数学的にも大変興味深いものがあります(結局は有限群の分類ですが)。
実は、みなさんもよくご存知の準正多面体があります。 そうです! サッカーボールです。六角形と五角形が きれいに重なりあった立体を見ると、幾何学が何千年にも渡って人の心を 引き付けて来た、というのもなんとなくわかる気がします。 さて、鋭い方はサッカーボールに違う模様が書かれている場合があることを 知っていると思います。実はこれも準正多面体の一つで、「十二・二十面体(三・五面体)」 と呼ばれるものが多いようです。もちろん他の準正多面体が描かれていることもあります。
私は化学者の卵でもありますから、 C60 というサッカーボール型の分子(バックミンスター・フラーレン) の存在にもふれておきましょう。1985年に ライス大学の Richard E. Smalleyらによって発見された炭素のみからなる分子で、 本当にサッカーボールの形をしています。名前の由来は、 同じような建築物を作っている、建築家のバックミンスター・フラー (Richard Buckminster Fuller)の名前に因み、バックミンスター・フラーレン、 フラーレン、バッキーボールなどと呼ばれることがあります。 さまざまな興味のある物性(超電導など)が知られており、 今でも盛んに研究がされています。
少し話がそれました。多面体達の模型を実際に、紙、コンパス、定規とセロハンテープ等で作るときには根気が要りますが、基本的に容易です(最後の一枚を除いて...)。 しかし、コンピュータ上で再現しようとすると頂点の座標計算が必要になります。 これらの計算は意外と大変で、グラフ理論などの知識が必要となります。 小林光夫氏と鈴木卓治氏は、1992年に電気通信大学紀要に正多角形を面にもつすべての凸多面体の頂点座標の計算」を発表し、NetNews にも "Data of coordinates of all regular-faced convex polyhedra" という形で発表されましたが、すでに NetNews というメディアは古くなり、なかなかアーカイブが発見できずにいました。 これは単に視覚的に美しいから重要というわけでなく、他にもいろいろ用途があると考えられるので、なんらかの形で残しておくことは非常に重要だと考えます。 さらにはこれを発展させて美しい CG を作成することも可能ですしね!
このページでは、正多面体、準正多面体、整面凸多面体の頂点の座標の 値を提供すること、それらの簡単なデモである ico の拡張版である、mxico の 配布をすること、それと、浅い解説 :-) が目的です。
数学的にはかなり適当に書いています。識者の御指摘などをお待ちしております。
プラトンによって発見された、正多面体(regular polyhedron)または プラトンの正多面体の定義はです。正多面体には次の5種類しかありません。 以下に略称、和名、英語名を挙げます。略称は古林、鈴木氏のもので mxicoでも使われるものです。
- 多面体はすべて同じ正多角形からなっている
- 多面体の頂点はすべて同じ形になっている
五つしかないという証明も(凸多面体に関する)オイラーの定理より簡単に行えます。
略称 和名 英語名 r01 正四面体 Tetrahedron r02 正八面体 Octahedron r03 正六面体(立方体) Cube r04 正十二面体 Dodecahedron r05 正二十面体 Icosahedron
アルキメデスによって発見された、準正多面体(semiregular polyhedron)または アルキメデスの準正多面体の定義はこのようにプラトンの正多面体と比べて一つ目の定義が違います。つまり、正多角形さえ用いていれば 頂点の形だけが同じであればそれは準正多面体とよばれるのです。 ですが、このままの定義だと、正多角形を底に持ってきて、まわりを正四角形で 囲んだ立体(正多角柱;prism)、または正多角形を底に持ってきて、 まわりを正三角形で囲んてねじったような立体(正多角反柱;antiprism)、というのを考えれば、 明らかに無限に存在することが解ります。それを除いた場合どうなるか、 というのを一番最初に調べたのがアルキメデスです。その結果、13種類あることが示されました。 ところが、2000年近く経った最近、ミラーによって14番目の準正多面体が発見されました。 ミラーの多面体と呼ばれており、準正多面体の定義は満たすのですが、通常はそうとはみなさず、 ザルガラー多面体の一種とすることが多いようです(これの省略記号は n37 です。ちょうど s08の 頭を90度を捻ったようなものになります)。 さらに、鏡に写したものが重なり合わないものも違うものとみなすと、さらに 2種類増えることになります(ねじれ立方体、ねじれ十二面体; s12L, s12R, s13L, s13R などと記してあります )。 従って、準正多面体は15種類存在することになります。名前の和訳にはいろいろあると思いますが、 遠山啓氏(数学の広場 3次元の世界,ほるぷ出版)の和訳と、 一松信氏(正多面体を解く, 東海大学出版会)の和訳を挙げておきます。略称は 小林光夫氏と鈴木卓治氏のそれを使っています。mxico でも同じ略称が使われます。
- 多面体はすべて正多角形からなっている
- 多面体の頂点はすべて同じ形になっている
略称 和訳(遠山啓) 和訳(一松信) 英語名 s01 立方八面体 立方八面体 Cuboctahedron s02 十二・二十面体(三・五面体) 二十・十二面体 Icosidodecahedron s03 角切り四面体 切頭四面体 Truncated tetrahedron s04 角切り八面体 切頭八面体 Truncated octahedron s05 角切り立方体 切頭立方体 Truncated cube s06 角切り二十面体 切頭二十面体 Truncated icosahedron s07 角切り十二面体 切頭十二面体 Truncated dodecahedron s08 斜立方八面体 斜立方八面体 Rhombicuboctahedron s09 斜方二十・十二面体(三・四・五面体) 斜十二・二十面体 Rhombicosidodecahedron s10 角切り立方八面体 切頭立方八面体 Truncated cuboctahedron s11 角切り十二・二十面体 頭切二十・十二面体 Truncated icosidodecahedron s12L,s13R ねじれ立方体 変形立方体 snub cube s13L,s13R ねじれ十二面体 変形十二面体 Snub dodecahedoron
整面凸多面体(regular-faced convex polyhedron)もしくはザルガラー多面体(Zalgaller polyhedron)の定義はとなっているものです。ザルガラー(Zalgaller,V.A)によって研究され、正多面体、準正多面体を除くと全部で92種類存在することが知られています。 これらの分類はコンピュータを使って行ったようです。幾何学は群論ですから、有限郡の分類という比較的地味な話題に なっちゃいます。今なら Mathematica か Maple で一発なのだと思います。 コセクターなんかも興味を持っていたらしいですね。 なおザルガラー多面体という呼称の初出は 関口次郎氏ご本人の指摘にによると多面体の数理とグラフィックス(下の参考文献参照)だということです。また、ザルガラー多面体の星形化は代数的な一般化によってえられるそうです。 和訳は小林光夫氏と鈴木卓治氏によります。 略称、名前、和名を挙げますが、あまりに長いのでザルガラー多面体の名前のページに移動して 見てください。
- 各面が正多角形の凸多面体になっている。
- 辺の長さが一定になっている。
座標データについては小林光夫氏と鈴木卓治氏が、1994年6月22日 に fj.sources に以下の subject と ID で投稿されました。Subject: Data of coordinates of all regular-faced convex polyhedra (1/3) ... Subject: Data of coordinates of all regular-faced convex polyhedra (3/3) Message-ID: <SUZUKI.94Jun24104356@alp0.cs.uec.ac.jp> ... Message-ID: <SUZUKI.94Jun24105454@alp0.cs.uec.ac.jp>さらに、その画像(pbm形式)についても、Subject: Hardcopy of coordinates of all regular-faced convex polyhedra (1/12) ... Subject: Hardcopy of coordinates of all regular-faced convex polyhedra (12/12) Message-ID: <SUZUKI.94Jun24105841@alp0.cs.uec.ac.jp> ... Message-ID: <SUZUKI.94Jun24122050@alp0.cs.uec.ac.jp>のように投稿されました。
今、これらのニュースの記事を入手するのは困難になりつつあります。 さらに記事をまとめて uudecode しなければなりません。配布条件を見ると READMEj をつければよいとのことでしたので、 ここに全てをまとめ、tex のファイルも pdf に直した polyhedron.tar.bz2ものを用意しました。是非御活用ください。% tar xvfj polyhedron.tar.gz % gv dnamej.pdf <-- pdf による英語の名称、和訳、略称の表 % xv hardcopy/*.pbm <-- pbm 形式による画像、見てみてください。
ここまでくると、正多面体、準正多面体、ザルカラー多面体を実際に見てみたいですよね。 特に回転させていろんな角度から眺めてみたいではないですか。 というわけで、X に標準でついている ico を拡張してみました。 mxico-1.0.1.tar.gzをとっていってください。これを展開、コンパイル すれば、これらの多面体が移動する mxico になります。
- コンパイルおよびインストールの仕方
X11R6 が入っている大抵のマシンでコンパイルできると思います。FreeBSD 4.6-STABLE で確認しましたが、 きっと多くのマシンで動くはずです。% tar xvfj mxico-1.0.1.tar.gz % cd mxico % xmkmf -a ; make % su # make install- 実行例
% mxico -sleep 0.2 -obj s06サッカーボールがまわります。sleep を入れないと、速すぎてなにしてるか解りません。最近のコンピュータは 高速になったものです。ここまでくるともう少しきれいで優雅な拡張バージョンも作成したいですねぇ。 なお、これだけでなく、正10角形までの、正多角柱(prism)、正多角反柱(antiprism)も入っています。 mxico で出て来るすべての多面体の略称、英語名、和訳はpolyhedron.tar.bz2 の中にある dnamej.pdf にありますので参照してください。- 高度な遊び方
% mxico -objhelpとかやってみてください。いっぱーい出ます。ここの "Name" の欄にある a03-a10(アンチプリズム), p03-p10(プリズム)、n01-n92(ザルガラーの多面体、RL区別あり)、r01-r05(正多面体) や s01-s13(準正多面体,RL区別あり) があります。 適当に選んでみてください。% mxico -sleep 0.2 -obj s13L何が出るでしょうか? そうです「ねじれ十二面体」です。これがころころまわります。結構かわいらしいでしょう? これは準正多面体の中では一番面数が多いものです。しかも鏡像体までありますから工作でコンプリートを 目指す人には鬼門になります :-)
- polyhedron.tar.bz2
正多面体、準正多面体、ザルカラーの多面体のすべての頂点座標データ、およびその画像(pbm形式)。 さらに正10角形までの、正多角柱(prism)、正多角反柱(antiprism)も入っています。- mxico-1.0.1.tar.gz
X に標準でついている ico を正多面体、準正多面体、ザルカラー多面体のすべて、それと正10角形までの 正多角柱と正多角反柱も含んだ拡張版 ico です(Maho's eXtended Ico)。 MD5 (mxico-1.0.1.tar.gz) = bcb7f4721bb53cb63afef39a8ee42a41
鈴木一生氏が このページに触発されてIco for Win32というページを 作成されました。めっちゃかっこいいっす。Windows 方がユーザも多いと思いますし、是非、お立ち寄りください。 これよか mxico よりよっぽどいいです。mxico も作りなおさんといかんですな。
僕が準正多面体に出会ったのは幼稚園のころだと思います。親がほるぷの「遠山啓著、数学の広場」 を買う買うまいかをしているところで、パンフレットをもらってきたらしかったです。 その小冊子には13種類の準正多面体の展開図が書いてあって、それをまじまじと眺めていたのを おぼろげに覚えています。しばらく後にこの「数学の広場」セットを買い与えてくれました。 「数学の広場」は中学生から一般向けだったので、今思うと、小学生にとってはかなり高度な内容で あったと思います。多分、内容はほとんど解ってなかったと思います。 でも見ているだけで楽しかったのは第四巻の「三次元の世界」でした。きれいな準正多面体 が出て来るからです。なぜかその巻の後ろの方の、球面の幾何学には興味がありませんでした。 それと、第三巻の平面幾何の「二次元の世界」にもあまり興味が無かったです。 あとはなぜか素数の話でもりあがる第二巻「数のふしぎ」が気に入ってました。
この「数学の広場」の付録にはプラスチックでできた正多面体がわんさかはいっていました。 色は四種類。これで塗分けろということらしかったです。全てを使うと 13 種類の正多面体 とサッカーボール(これは四色バージョンと白黒バージョン、二つ作れた)ができたと記憶しています。 しかもすべて四色問題を解決しながらです :-) 幼い僕はセロテープと格闘し、なんとかひととおりは 作ったと思います。それと時々三角形の板を無くしながら(同じ辺の長さの十角形と比べると大きさは かなりちがいます)。また、当時住んでいた部屋はとても狭かったから、すべてを置くわけには行かなかったです。
だんだん手先が器用になったころ、今度は自分で展開図を書いてすべて作ってみようと思い立ちました。 三角形、四角形、六角形は簡単です。ですが五角形はむつかしかったけれど、十角形はさらに 難しかったのです。というのも、まず、五角形はコンパスと定規で書けますが、 これは思ったより精度が出ません。それでも、五角形は一つ書くと頂点を結んでやると 六つに分割できたから、量産が効くのですが、十角形にはそういう手法がないからです。 当然、定規とコンパスだけで二つは正確に書くことができますが、かなりずれやすかったので、 結局五角形、十角形は分度器で書くのが一番精度が高かったです。十角形は一番しんどかった。
うちの母は定時制の氏だったから製図用のコンパス、分度器、定規、製図用紙なんかを高校から持って 来てくれました。それらを使うと飛躍的に製図の精度が良くなったことを記憶しています。 昔のしょぼいプラスチック定規には 1mm 足りないものがあったことを思い出します。ひどいものです。 特に分度器は五角形を書くときにクリティカルなのでいいものをもらって嬉しかったです。 そうそう、コンパスも滑らかに動き、気持良かったように覚えています。
このようにだんだん上達した後、大学に入学し、ぼちぼち作っていましたが、2回の頃、出身高校に文化祭で帰ると、 昔、友達とパソコンを触っていた場所が無くなっていて、ロッカールームみたいになっていました。で、そこには何と、斜方二十・十二面体(三・四・五面体)が無造作に置いてありました。しかもとてもきれいに作ってありました。 俄然やる気になって、一度、多面体と準正多面体をすべて作ってみようと思い立ちました。 ねじれものは面数が多く、大変です。先にも述べたとおり、十角形は量産が効かないのでこれも大変でした。 一つ一つ作成してゆき、ついに全ての準正多面体が完成しました。
コツは、紙、道具をちゃんと選定すること。あと集中すること!! 紙は厚すぎず、鋏も通りやすい、しかしある程度 強度があり、消しゴムで消しても変にならないもの。カッターは使わない方がいいです。 コンパスは鉛筆が刺さる方がいいかな。 鉛筆削りは先が非常にシャープになるもの。定規、分度器は製図用。ちょっと高くても良い。 展開図を書いてセロハンテープでくっつけなくてもよい領域を作らないこと。これらのずれが 最後の一枚二枚の精度を大幅に変更してしまうのです。
暫く経つと諸行無情を思い知らされました。セロハンテープは経年変化に意外と弱かったです。 湿度との戦いにあっさり負け、三年しないうちに自己崩壊が始まりました。 そして今はではほとんどが崩れさってしまいました。
コンピュータで再現すればいいかなとか思ったけど、リアルはやっぱり違う。 今度はもっと違う手法できれいに作ってみたいなぁ。星型にも挑戦したい。
ここで紹介仕切れなかったものたちです。これらもまた美しい形をしています。
- デルタ多面体(正三角面体)
正三角形のみからなる多面体。8種類ある。- 菱形多面体
自然界(宝石)にもこの形を持ったものが存在します。たしかガーネットは この形じゃなかったっけ?- 星型多面体
凸多面体ではないですが、これもとても美しいです。
- 小林光夫氏
ザルガラー多面体の頂点データの作成者- 鈴木卓治氏
ザルガラー多面体の頂点データの作成者- 頂点計算を含むニュースアーカイブ
- 頂点計算を含むニュースアーカイブの議論(上とファイル名は同じ!間違わないように!)
- 多面体と双対性 きれいです。すごいです。なんとストーリーテリングのうまい人なんだろう?
- George W. Hartのページ
世界の第一人者の作成したページ- 多面体へようこそ
- Polyhedra Home
素晴らしいギャラリーがあります。- 多面体関連のリンク
日本人向けも含めかなり多くの多面体関連へのリンクがあります。- ほるぷ出版
復刊をしてもらいましょう :-)- 多面体学習支援システムの開発
- データ配布してます
- Ico for Win32 Windows版です。 とてもかっこいいです!! 僕のページに触発されたそうで、これについてはありがたいことです。感謝。
- Zvi Har'Elここから Geometriae Dedicata 47 (1993), 57-110. に掲載された ``Uniform Solution for Uniform Polyhedra'' という論文がダウンロードできる。 さらにその実装である kaleido もダウンロードできる。
- Zalgaller,V.A., Convex Polyhedra with Regular Faces, Consultants Bureau, (1969)(英訳版).
- Zalgaller,B.A.: Vypuklye Mnogogranniki c Pravil'nymi Granyami, Nauka Press, (1966)(原著).
- 関口次郎 : 多面体の数理とグラフィックス-ザルガラー多面体とMathematica (1996)牧野書店；星雲社 ISBN:4795201072
ザルガラー多面体という呼称が使われたものの初出(著者本人による御指摘!)。- 小林光夫, 鈴木卓治, 正多角形を面にもつすべての凸多面体の頂点座標の計算, 電気通信大学紀要, Vol.5 (No.2), 147-184 (1992).
- 遠山 啓, 数学の広場 3次元の世界, ほるぷ出版
準正多面体についての記述があります。美しい写真付です。現在絶版です(ISBN がない...)。- 一松 信, 正多面体を解く，東海大学出版会, ISBN 4-486-01587-8
改版買いました。なかなか面白いです。一般向け。- 山口 陸幸, CG で知る相貫体，熊本日日新聞情報文化センター, ISBN 4-87755ー072-0
また違った拡張について述べてあります。CG が大変美しいです。- 川村みゆき，多面体の折紙 正多面体・準正多面体およびその双対，日本評論社, ISBN 4-535-78224-5
持ってません。欲しいです。
サジェスチョンを多く頂きました。作品を見せていただきました。ここに感謝の意を表明しておきます。ありがとうございました。
- 山口陸幸氏
- 鈴木一生氏
- 関口次郎氏